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討論議題：
當金屬受到機械力作用時，可以用甚麼參數描述該力的大小以及形變的程度。
在彈性型變和塑性型變之間有什麼分別？
要如何測量金屬的機械特徵？包含剛性(Stiffness)、力(Strength)、延展性(Ductility)、硬度(Hardness)。
有什麼參數可以用來量化上述這些性質？

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應力的常規狀態(Common States of Stress)：
簡單張力(Simple tension)，例如繩子，兩端會受到一樣大反向的向外"力"。
張應力σ(Tensile stress)定義為張力除以截面積，這個截面積是指受到加載前的。
扭力(Torsion)，例如傳動軸，兩端受到一樣大反向的"力矩"。
剪應力τ(shear stress)定義為扭力除以截面積，扭力為力矩除以半徑。
簡單壓縮力(Simple compression)，和張力一樣是兩端受力，但是都是向內壓縮的力。
雙軸拉伸力(Bi-axial tension)、流體靜壓縮力(Hydrostatic compression)。

應力應變測試(Stress-Strain Testing)：


工程的應力：
主要是前述提到的張應力σ和剪應力τ，相關的單位換算為MPa = 10^6 Pa = 106 N/m^2  or  lbf /in^2。

工程的應變：
張應變εz(Tensile strain)，定義為長度變化量除以原長度，該長度變化方向與力平行。
橫向應變εx(Lateral strain)，定義為長度變化輛除以原長度，該長度變化方向與力垂直。
剪應變γ(Shear strain)，定義為水平變化量除以鉛直長度，也就是tan的意義，可以視為變化角度的tan值。
上述這些應變都是無因次量(dimensionless)。

有用的線性彈性關係(Useful Linear Elastic Relationships)：
定義一個新的量E，表示彈性的模量(modulus)，稱為楊氏模量，值為彈性時的正向應力除以正向應變。
與力平行或垂直的長度變化量可以寫成下圖所示，其中ν是蒲松比(Poisson's ratio)：

變化量(撓度，Deflection)會受到材質、幾何、加載參數而有所影響。
由上圖可知，較大模量的材質，變型量會越小。

若是考慮扭力的情況，需要定義另一個模量G，稱為剪切模量(shear modulus)。
定義為剪應力除以剪應變，也就是應力-應變圖彈性區域的斜率。
變化角度的公式一樣可以由G描述，以下圖所示：


線性彈性特性：
彈性型變是非永恆而可回復的，通常小量型變都屬於此類，應力應變曲線會是線性函數。
該曲線斜率為彈性模量E(楊氏模量)，也是虎克定律σ = E ε中的係數，單位一般使用帕斯卡，1 GPa = 10^9 Pa。

鍵結力的影響：
彈性模量和原子間的鍵結力相依，彈性模量與「原子間鍵結力-原子間距離 曲線」的斜率呈正比。

蒲松比(Poisson's ratio)：
前面提過但是沒有解釋，這邊詳細說明定義。
蒲松比ν = -εz/εx，金屬的ν在0.33左右，陶瓷為0.25左右，聚合物則是0.4左右。
根據定義可知，蒲松比是無因次項。

其他彈性特性：
彈性剪模量G(Elastic Shear modulus)：τ = G γ。
彈性體積模量K(Bulk modulus)：P = -KΔV/Vo，P為壓力。
在各向同性的材質中，這幾個彈性常數有兩個關係式：


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金屬的塑性型變：
塑性型變是永恆而不可復原的，所以會有塑性變型量(維持變形而不復原的量)的產生。

對於應力-應變圖來說也有類似的現象，多出塑性應變的量。


屈服強度(降伏強度，Yield Strength)：
從彈性型變轉換成塑性型變的過程是漸進的，我們定義當塑性應變量=0.002時的應力為屈服強度σy。
陶瓷材料通常難以測量屈服強度，因為在那之前就會發生斷裂。

抗拉強度(Tensile Strength)：
抗拉強度(TS)定義為應力-應變曲線中的最高點。
通常金屬在顯現出頸縮(necking)現象時即達到抗拉強度。

延展性(Ductility)：
定義為發生斷裂時的塑性應變量。
延展性的規格(Specification)分為兩種：根據伸長量(elongation)變化或是截面積縮小量。


彈性(Resilience)：
定義為彈性型變時材料吸收能量的能力，反映了負載釋放時能量回復的能力。
彈性模量Ur為應力-應變曲線下的面積，若是近似線性曲線則可用三角型面積公式算。

韌性(Toughness)：
材料的韌性可以有很多種描述法，在這個章節的定義是「發生斷裂前材料吸收的總能量」。

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真實的應力與應變：
因為我們以前計算應力應變時沒有考慮截面積變化，全部用原始的截面積來計算，所以若以當下的新截面積計算則會有另一種值。
真實應變的公式為ln(li/lo)，li為當下新的長度，lo為原長度。
當發生頸縮(necking)時有一個公式可以用以計算真實應力應變：


真實應力-應變圖的關係：
大部分的合金，在位於屈服強度到頸縮發生前的區間，有一個式子可以描述。
其中的n為應變硬化指數(strain-hardening exponent)，由式子可知n越大代表越能抵抗塑性型變。


彈性應變回復：
在發生塑性型變後，再次加入負載，會有彈性應變回復的現象，此時的屈服強度會變得比原先大，如下圖所示：


硬度(Hardness)：
定義為測量針對表面塑性型變(凹痕或是刮痕)的抵抗力。
高的硬度代表著，針對壓縮性的負載造成的型變有較高的抵抗力，耐磨性也更高。

硬度的測量：
有很多種硬度測量的試驗，這邊以洛氏硬度試驗(Rockwell Hardness)為例。
該硬度標尺由負載重量和壓入方式組成，例如63 HR15T，就是15kg的負載、1/16英寸的壓頭，63單位深度。
另個例子，布氏硬度試驗(Brinell Hardness)只有一種刻度，一般採用直徑10mm鋼壓頭。

材料性質的變化性(Variability)：
每一次測量同一種材質的性質時，測出來的值都會不太一樣(分散，scatter)，因此需要用統計學的方式處理。
一般用標準差來描述分散的程度有多大。

設計係數/安全係數(Design/Safety Factors)：
因為設計的不確定性，一個限額必須被決定出來好以預防意外的失敗。
在結構的應用上，我們使用工作應力σw(working stress)以及安全係數N來描述。
根據應用需求，N通常介於1.2~4之間。

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討論議題：
甚麼是擴散(Diffusion)？
藉由哪些原子機制(atomic mechanisms)讓擴散發生？
材料加工中有哪些擴散的例子？
關於擴散的問題，我們有什麼公式可以使用？
溫度會如何影響擴散的速率？

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擴散：
定義為藉由原子運動產生的質量傳送。
擴散的機制根據擴散物的狀態有差，氣體和固體是隨機運動(布朗運動)，固體則是空缺(Vacancy)擴散以及插入(interstitial)擴散。
擴散的種類有相互擴散(Interdiffusion)，原子在兩個材料之間擴散，以及自擴散，純金屬中的原子遷移。
原子在遷移時會傾向從高濃度區移動到低濃度區，最終會維持在一個特定的平衡。

擴散機制：
空缺擴散，原子和空缺互相交換位置，在不純的材料中發生。
此種擴散的速率受到空缺量和用來交換移動的能量影響。
插入擴散，尺寸足夠小能夠插入主原子之間的原子在鄰近縫隙中移動。
擴散速率通常會比空缺擴散還要快。

使用擴散的加工(Processing)：
一個插入擴散的例子：表面硬化(Case Hardening)加工。
藉由擴散進入表面的碳原子，讓外表面選擇性地被硬化，碳原子存在的地方會變硬。
表面硬化後的材料，能夠增強耐磨性(wear resistance)。
同時殘餘抗壓應力(residual compressive stresses)也提升了金屬疲勞(fatigue failure)的抵抗力。
在半導體裝置中，在半導體中非常小濃度的擴散又稱為摻雜(Doping)。

擴散的速率：
擴散是一個時間相依(time-dependent)的過程，所以能夠用包含t的式子來描述，我們用通量J來表示擴散速率。

其中截面積A一般視為固定，而M和t會變，所以也可以視為dM/dt，故t-M圖的斜率正比於擴散速率。

穩態(Steady-State)擴散：
當擴散進入穩態，此時的狀態是先前動態的結果，所以是用非時間相依的式子(Fick第一定律)來描述。

D為擴散係數，C為濃度，x為位置(位置變化又代表了擴散方向)，所以可以知道這個式子是和位置有關的。
根據擴散機制那邊所講，插入擴散的擴散係數會比替代擴散大。

溫度對擴散的影響：
前面提過擴散係數D，實際上D會因為溫度和活化能的變化而改變。
根據下圖可知，活化能越小，或是溫度越大的時候，擴散係數會增加。
因為是e函數，所以可以取ln後畫成直線函數圖，斜率會和1/t呈正比。

若是將兩個不同溫度時的D相減，會得到一個不包含D0的式子，可以在兩溫度差異情況時使用。


非穩態擴散：
當擴散濃度的變化同時受到時間和位置影響時，會用另一個公式(Fick第二定律)來描述。

同時我們也可以用比較實用的這個形式，其中erf是error function：

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討論議題：
固體材料中有哪些種類的缺陷(defects)？
溫度會如何影響空缺(vacancies)的數量？
兩種型態的固溶體(solid solutions)分別是甚麼？
三種型態的差排(dislocations)分別是什麼？
從顯微鏡檢查中可以找出什麼種類的資訊？

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凝固(Solidification)：
熔融材料(molten material)的鑄造結果。
首先存在固相形式的核，結晶會從那些固相核開始生長，直到這些結晶的邊界彼此相撞，這些結晶成為晶粒(grains)。
這個流程會在全液態的熔融材料中啟動。
晶粒可以是等軸(equiaxed)或是柱狀(columnar)。
等軸晶粒指的是在各方向的尺寸差不多的晶粒，而柱狀晶粒會有一個主要的方向。
通常在快速的冷卻下，會比較傾向形成等軸晶粒；反之在緩慢冷卻的時候會傾向形成柱狀晶粒。

晶粒邊界(Grain Boundaries)：
邊界指的是晶粒之間的空間，結晶學上的錯位(misalignment)必定會穿過晶粒邊界。
結晶邊界有著輕微的原子紊亂，擁有高度原子流動性，同時擁有高度化學反應性。

固體中的缺陷(Imperfections、defects)：
世界上不存在完美的晶體，晶體的缺陷總是會顯現。
材質的許多性質對於缺陷的存在相當敏感，結晶的缺陷參考自原子尺寸的不規則。
根據維度的不同，缺陷可以分成點缺陷、線缺陷、面缺陷。

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點缺陷：
第一種叫做空缺(Vacancies)，本來該存在原子的地方少了原子。
第二種叫做間隙缺陷(Interstitial)，不該出現原子的地方多了原子，可能是和周遭相同種類或是其他種類的原子。

平衡濃度時的空缺計算：

根據公式可知，當材料固定的時候，要控制空缺的數量，就要調整溫度。

活化能(Activation Energy )的決定：
上式中的Qv可以經由實驗來找出，只要畫出兩邊取ln，就會產生直線的圖，從斜率取得相關資訊。

平衡狀態空缺濃度的計算：
在找到空缺濃度前，我們要先算出總晶格數，也就是總共的原子數量，所以算法就是Na*ρ/A。
其中Na是亞佛加厥常數，ρ是該材料的密度，A是該材料的原子量。
最後代入先前的公式即可。

金屬裡的雜質(Impurities)：
有兩種雜質被添入的形式：替補(Substitutional)和插入(Interstitial)。
當雜質濃度夠高的時候，會形成新的一種相(Phase)，不同的位置排列就會導致不同的結構。
根據Hume-Rothery定律，在以下條件下有利替補型的固溶質生成。
首先原子半徑的差距要小於15%，然後電負度不能差很多，所以通常都是在週期表附近的元素。
晶體的構造和價電子(Valences)的數量必須要一致，才容易參雜。
原子半徑的差距要大於59%的時候容易產生間隙型固溶質。

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線缺陷：
線缺陷的專有名詞叫做差排(Dislocations)，分為刃插排(Edge dislocation)和螺旋插排(Screw dislocation)兩種。
刃差排是指有額外半層的原子被插入結晶構造，伯格斯向量(測量晶格扭曲用)垂直於差排線。
螺旋差排是指一種因剪力產生形變，產生螺旋平面坡道的樣子，伯格斯向量平行於差排線。



伯格斯向量(Burger’s vector)：
描述差排導致的原子面扭曲大小和方向。


差排(dislocation)：
受到應力影響的時候產生移動，差排的移動會導致永久的形變。

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面缺陷：
第一種形式是孿晶界(Twin boundaries)，原子的位置會以介面當作鏡面對稱於兩側。
第二種形式是堆疊錯誤(Stacking faults)，先前提及過結晶有分不同層，按照序列排好，如果排錯了就屬於此類。
第三種形式是之前提過的晶粒邊界。

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顯微鏡檢查(Microscopic Examination)：
晶粒的尺寸是一個重要的顯微特徵，每種材料的晶粒尺寸可以很不一樣。

光學顯微鏡(Optical Microscopy)：
用拋光技術去除表面不必要的東西，例如刮痕。
根據晶粒的方向，刻蝕會改變反射率。
晶粒邊界會更容易受到刻蝕的影響，在刻蝕後，晶粒邊界在顯微鏡下會以黑線的樣貌顯現。
針對金屬相的領域，通常使用偏振光(Polarized light)來提升對比。
偏振光也會用來針對透明的樣本，例如聚合物。

電子顯微鏡(Electron Microscopy)：
為了更高的解析度，使用更短波長的輻射，最後使用比較好運用的電子束。
波長最低可以到0.003nm，當然也可以實現原子等級的解析度，我們用磁透鏡(magnetic lenses)來集中電子束。

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討論議題：
結晶固體和非結晶固體的原子佈局(atomic arrangement)有什麼不同？
金屬的結晶構造為何？
晶體構造有甚麼特徵？
晶體學的點線面是如何指定的？
什麼物質的原子結構特性會決定他的密度？

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能量與填充(Energy and Packing)：
分為不稠密的隨機填充和稠密的有序填充。
有序填充的結構傾向接近最低能量的鍵結能，也就會更穩定。
也許是暗示隨機填充結構會有變得靠近有序填充的傾向。

材質和原子佈局(Materials and Atomic Arrangments)：
分為結晶材質(Crystalline materials)和非結晶材質。
結晶材質的原子是有週期性的排列組合，金屬和大部分陶瓷屬於此類，少數聚合物也是結晶材質。
非結晶材質(又稱為Amorphous)通常是因為複雜的結構或是急速降溫(rapid cooling)而形成。

金屬的結晶結構：
原子布局屬於稠密的填充。
金屬原子之間的鍵結沒有方向性，會和最近其他原子傾向保持最近的距離以獲取最低鍵結能。
游離電子雲提供了高度的電磁屏蔽(shielding)。
金屬主要有三種立方晶體構造：簡單立方、體心立方、面心立方。

晶體相關名詞定義：
配位數(Coordination Number)，每個原子有幾個最近相鄰原子。
原子堆疊因子(Atomic Packing Factor，APF)，每單位立方體積內有多少體積的原子（假設是硬球體模型）。
cell，晶體的最小單位，立方晶型的話就是指單一立方。

簡單立方(Simple Cubic，SC)：
立方體的八個頂點各自有一個原子，這種立方在三種立方中填充密度最低，所以很罕見。
緊密堆疊方向(Close-packed directions)為立方邊緣。
配位數為6，APF約為0.52。

體心立方(Body-Centered Cubic，BCC)：
和簡單立方相比，八個原子中間多卡了一顆原子。
配位數為8，APF約為0.68。
APF計算過程重點：立方體的對角線為4倍原子半徑，4R = 根號3倍的立方邊長。

面心立方(Face-Centered Cubic，FCC)：
和簡單立方相比，每個面中間多卡一顆原子。
所以每個立方內有8*1/8(八個角落各八分之一)+6*1/2(六個面各半)=4個原子。
配位數為12(我的記法是上中下各被四顆原子的圈圈包圍，4*3)，APF約為0.74。
APF計算過程重點：立方面的對角線為4倍原子半徑，4R = 根號2倍的立方邊長。

面心立方的多層堆疊序列：


六方最密堆疊(Hexagonal Close-Packed，HCP)：
和面心立方原理一樣，只是堆疊層A、C的方向變得相同而非相反，所以是ABAB...的堆疊序列。
所以配位數一樣是12，APF約為0.74。


理論的金屬密度ρ：
ρ = 一個cell內的原子質量/cell的體積 = (nA/Na)/V = nA/VNa
n是單位體積有多少原子，A是原子量，Na為亞佛加厥常數(6.022*10^23)，V為cell體積。

不同材料的密度對照：
通常來說，金屬密度＞陶瓷密度＞聚合物密度。
金屬原子的填充緊密，而且原子量普遍也比較大。
陶瓷的填充也差不多緊密，但是元素通常比較輕。
聚合物則是填充不緊密，元素也都比較輕(ex:C、H、O)。

單晶(Single Crystals)：
原子的晶體結構週期性佈局，不受到任何干擾。

多晶(polycrystalline)：
大部分的工程材料都是由許多小單晶組成，又被稱為多晶。

晶體的方向性：
異向性、各向異性(Anisotropy)，指的是物理化學性質在不同方向上會有所不同的特性。
在單晶中可以觀察到這樣的現象，例如從不同的角度切開來的剖面，原子的排列情況就會不一樣。
等向性、各向同性(Isotropy)，指的是物理化學性質在不受方向影響的特性。

多態性(Polymorphism)和同素異形體(Allotropy)：
意指同種材料有多種獨特的晶體結構。

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晶體的點座標：
用於描述單位cell內點格位置，將點格位置除以cell的邊緣長度(a、b、c)，最後再換算成整數。

晶體的方向：
和點座標類似，將兩點產生的向量除以cell的邊緣長度(a、b、c)，最後再換算成整數。
在晶體學上等價的方向會組成方向家族，例如<100>=[100],[010],[001],[-100],[0-10],[00-1]。
常見的方向有100、110、111。

晶體原子的線密度(Linear Density of Atoms，LD)：
定義是原子數量/方向向量長度。
同個晶體的不同方向，會有不同的線密度，這也呼應了先前說的同向異性。

晶體的面：
我們使用密勒指數來描述晶面，而密勒指數由下方方法計算。
找出晶面在cell座標軸上的截距，將截距取倒數並標準化，這樣就得到該晶面的密勒指數。
我們用()來包起來密勒指數，三個數字之間不要有逗號。
實際上密勒指數相當於該晶面的法向量。
同樣的，等價的晶面也會有面的家族，我們用{}來描述。
對於六方最密堆疊，我們有類似的方法描述，只是會變成有四個軸。

晶體原子的面密度(Planar Density of Atoms，PD)：
定義是原子數量/晶面面積。
同個晶體的不同晶面，會有不同的面密度，面密度越大，面間距就越小。
透過X光繞射實驗，我們可以檢測出面密度，也就能知道這個晶體的切面是哪個方向。
繞射實驗的公式(布拉格定律)：d = nλ/2sinθ。
在實驗途中會有某個θ能夠顯示出繞射效果，將其θ代入上式即可。
算出來的d為晶格間距，若該切面為(hkl)，則該立方cell的邊長a=d*(h^2+k^2+l^2)^0.5。
BCC的h+k+l必定是偶數，繞射出來的前六個面為110、200、211、220、310、222(同時是面間距由大到小)。
FCC的h、k、l必定三個都是奇數或是都是偶數，繞射出來的前六個面為111、200、220、311、222、400。

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討論議題：
原子/分子的哪些特性促進原子間/分子間鍵結？
有哪些原子間/分子間鍵結的種類？
原子間/分子間鍵結會決定那些材料的性質？

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原子結構：
電子質量9.11*10^-31(kg)，質子中子質量1.67*10^-27(kg)。
原子結構會決定原子的化學性、電性、熱性、光學性。

電子結構：
電子具有波粒二象性，電子的位置是機率波的形式，其形狀、大小、方向受到量子數影響。

量子數(Quantum)：
主量子數n(KLMN)、角量子數l(spdf，n-1)、磁量子數ml(-l~l)、自旋量子數(±1/2)
根據量子數可以找出電子在能階上的位置。

價電子(Valence electrons)：
最外圈未填滿殼層的電子，若殼層填滿則穩定，價電子有能力建立鍵結，以至於影響原子的化學性質。

週期表：
電負度(Electronegativity)越小的會越靠近週期表左側，越大的靠近右側，電負度代表意義為獲得電子的能力強度。
越左側的原子更傾向拋棄電子(將最外層丟光)滿足最外層殼層填滿的需求，反之右側原子傾向捕捉電子填滿殼層。

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離子鍵(Ionic Bonding)：
發生在正離子和負離子之間，需要電子的轉移，通常電負度的差距要夠大，例如NaCl。
離子鍵的能量同時受到吸引力和斥力影響，處於最低的能量時會維持穩定。
陶瓷材料的主要鍵結就是離子鍵，例如MgO、CaF2、CaCl。

共價鍵(Covalent Bonding)：
發生在相近電負度的原子之間，因為這樣才能穩定的共享電子。
通常發生在s軌域或p軌域的價電子之間，也就是說原子序越大就越難以產生共價鍵。
共價鍵產生的同時會產生(混成，hybridization)新型態的軌域(混成軌域，Hybrid orbital)。

金屬鍵(Metallic Bonding)：
電子游離(delocalize)，形成電子雲。

混和鍵結(Mixed Bonding)：
不同鍵結有時候會同時存在共同影響，影響的比例可用下式計算。

其中X是指參與元素的電負度，可發現電負度越接近，結果越接近0(越傾向共價鍵)。

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熔點溫度(Melting Temperature)：
鍵結的長度、能量會共同影響熔點的溫度。
若是鍵結能量越強，熔點溫度就會越高。
在E-r圖中，穩定r的能量越負，代表鍵結能量越大。
鍵結能量又被稱為束縛能，象徵著打破該鍵結需要多少能量。

熱膨脹係數(Coefficient of Thermal Expansion)：
膨脹係數的定義為下圖所示：

越小的束縛能，代表物體越容易膨脹變形，膨脹係數也就越大。
若是鍵結長度拉長，會導致E-r曲線的不對稱，進而導致束縛能下降，提高膨脹係數。
反過來說，束縛能越大，E-r曲線就越對稱。

材料性質與鍵結類別的對照：
陶瓷材料主要以離子鍵和共價鍵為主，因為鍵結能量高，熔點高，熱膨脹係數小。
金屬材料主要是金屬鍵，鍵結能量適中，性質也是平均值。
聚合物材料雖也有共價鍵，但是有部分依靠分子間的作用力，這種力的能量相對來說很小，所以導致熔點低，膨脹係數大。